Drittmittelprojekt
Titel:
Regelung Numerischer Eigenwertverfahren: Kontrollierbarkeit, Stabilität und optimale Steuerung
Projektleitung an der Universität Würzburg:
Beteiligte Wissenschaftlerinnen und Wissenschaftler:
Kurzbeschreibung:
Die Berechnung von Eigenwerten von Matrizen oder das Lösen linearer
Gleichungssysteme sind Grundaufgaben der Numerischen Linearen Algebra,
die sich überall in Anwendungen auf Naturwissenschaft und Technik stellen. Die
bekannten numerischen Lösungsverfahren und Software Pakete sind dabei meist nur
auf spezielle Typen von Matrizen, wie z.B.
``normale'' Matrizen, zuverlässig anwendbar und versagen oft bei
komplizierteren Matrizen. Die Frage stellt sich daher, ob und
inwieweit man die bekannten Lösungsalgorithmen so abändern kann,
dass sie für eine breitere Klasse von Matrizen funktionieren.
Lösungsalgorithmen für grosse Systeme sind iterativ und lassen sich
daher grundsätzlich mit Methoden der Regelungstheorie
untersuchen. Jede erfolgreiche Regelung basiert auf einer Kenntnis der
erreichbaren Zustände des Systems. Umgekehrt liefern Erreichbarkeitsmengen
fundamentale Schranken für die Regelung eines Systems.
Da man in der Regelungstechnik heute auch sehr grosse, komplexe
Systeme erfolgreich regeln kann, stellt sich die Frage, ob man
diese Methoden nicht auch zum Lösen komplexer Eigenwerertprobleme
einsetzen kann. Im Projekt KONNEW der DFG wurden dazu am Lehrstuhl für Mathematik II
die Universität Würzburg grundlegende mathematische
Untersuchungen über die Struktur der Erreichbarkeitsmengen numerischer
Lösungsalgorithmen durchgeführt. Dabei zeigte sich, dass --zumindest vom
Standpunkt der Regelungstheorie--selbst relativ kleine
Systeme schon sehr kompliziert sein können. So kann z.B. das überraschende
``Abstossungsphänomen'' dazu führen, dass gewisse
Eigenvektoren überhaupt nicht berechnet werden können. In über 15
Publikationen und einer Dissertation wurden während der zweijährigen
Projektphase (2006-2008) die
Kontrollierbarkeitseigenschaften numerischer Eigenwertverfahren
eingehend untersucht und so ein Beitrag zur
Grundlagenforschung numerischer Algorithmen geleistet.
Schlagworte:
Regelungstheorie
Eigenwertverfahren
Laufzeit:
von 04.2006 bis 06.2008
Förderinstitution:
DFG ( Sachmittelbeihilfe ) ,Genehmigungsdatum: 13.06. 2005
Publikationen:
- U. Helmke, J. Jordan.
(2005). Optimal control of iterative solution methods for linear systems of equations. Proc. Appl. Math. Mech., Vol. 5, 163-164. (Wissenschaftl. Artikel)
- J. Jordan.
(2006). Discrete-time control systems on homogeneous spaces. Control and Cybernetics, Vol 35, 863-871. (Wissenschaftl. Artikel)
- G. Dirr, U. Helmke, M. Kleinsteuber and Th. Schulte-Herbrüggen.
(2006). A new type of C-numerical range arising in quantum computing. Proc. Appl. Math. Mech., Vol 6, 711-712. (Wissenschaftl. Artikel)
- G. Dirr and U. Helmke.
(2008). Accessibility of matrix Riccati differential equations. Proc. Appl. Math. Mech., 2008, (Wissenschaftl. Artikel)
- J. Jordan.
(2008). Constraints on the convergence behavior of algorithms via reachable set analysis. Proc. Appl. Math. Mech., 2008, (Wissenschaftl. Artikel)
- G. Dirr, U. Helmke, M. Kleinsteuber and Th. Schulte-Herbrüggen.
(2008). Relative C-numerical ranges for applications in quantum control and quantum information. Linear and Multilinear Algebra, Vol 56, 27-51. (Wissenschaftl. Artikel)
- U. Helmke, J. Jordan and A. Lanzon.
(2006). A control theory approach to linear equation solvers. In Y. Yamamoto(Hrsg.), Proceedings of 17th Symposium MTNS . Kyoto: CD-ROM. (Kongressband)
- G. Dirr, U. Helmke, M. Kleinsteuber and Th. Schulte-Herbrüggen.
(2006). The local C-numerical range:examples, conjectures and numerical algorithms. In Y. Yamamoto(Hrsg.), Proceedings of 17th Symposium MTNS . Kyoto: CD-ROM. (Kongressband)
- G. Dirr, U. Helmke and Ch. Lageman.
(2006). Nonsmooth Riemannian optimization with applications to sphere packing and grasping. In F. Bullo and K. Fujimoto(Hrsg.), Proceedings IFAC LHMN Workshop . Nagoya: Nagoya University. (Kongressband)
- U. Helmke and P.S. Krishnaprasad.
(2007). Principal subspace flows via mechanical systems on Grassmann manifolds. In F. Bullo and K. Fujimoto(Hrsg.), Lagrangian and Hamiltonian Methods for Nonlinear Control . London: Springer. (Kongressband)
- G. Dirr, U. Helmke and Ch. Lageman.
(2007). Some applications of Riemannian optimization to mechanics. In F. Bullo and K. Fujimoto(Hrsg.), Lagrangian and Hamiltonian Methods for Nonlinear Control . London: Springer. (Kongressband)
- U. Helmke and M. Kleinsteuber.
(2008). Riemannian Newton algorithm for computing Lagrangian invariant subspaces. In J. Ball(Hrsg.), Proceedings of 18th Symposium MTNS . Blacksburg: CD-ROM. (Kongressband)
- J.I. Curto, P.A. Fuhrmann and U. Helmke.
(2008). A system theoretic approach to Goppa codes. In J. Ball(Hrsg.), Proceedings of 18th Symposium MTNS . Blacksburg: CD-ROM. (Kongressband)
